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問題
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣがあり，角Ａは２０°です。いま，辺ＡＣ上に点Ｄ，辺ＡＢ上に点Ｅがあり，ＤからＢ，ＥからＣに直線を引いたところ，角ＤＢＣ＝６０°，角ＥＣＢ＝５０°となりました。
ＤからＥまで直線を引いたとき，角ＢＤＥ(図のχ)は何度ですか。
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昔から有名な難問です。中学生の知識で解けます。小学生でも理解することはできます。
いろいろな解き方がありますが，そのうちの１つをご紹介します。
まず，三角形ＡＢＣは二等辺三角形ですから，角ＡＢＣと角ＡＣＢは等しく，
(１８０°−２０°)÷２＝８０°です。
よって，左図のように，角ＥＢＤ，角ＤＣＥは，それぞれ，
８０°−６０°＝２０°，８０°−５０°＝３０°です。
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ここで，辺ＢＣと平行になるように，Ｄから直線を引き，辺ＡＢと交わった点をＦとします。
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辺ＦＤと辺ＢＣとは平行ですから，角ＡＦＤは角ＡＢＣと等しいので８０°，角ＡＤＦも角ＡＣＢと等しいので８０°です。
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ここで，ＦからＣまで直線を引きます。
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三角形ＤＢＣと，三角形ＦＣＢとが合同であることを，これから証明していきます。
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まず，辺ＡＣと辺ＡＢとは，(三角形ＡＢＣは二等辺三角形なので)同じ長さです。
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また，辺ＡＤと辺ＡＦとは，(三角形ＡＦＤは二等辺三角形なので)同じ長さです。
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よって，辺ＤＣと辺ＦＢも，同じ長さになります。
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また，辺ＢＣは，両方の三角形に共通で，
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角ＤＣＢと，角ＦＢＣは，どちらも８０°なので等しいです。
よって，二辺とそれをはさむ角が等しいことになり，
三角形ＤＢＣと，三角形ＦＣＢとが合同であることが，証明できました。
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ところで，角ＤＢＣは６０°で，角ＢＤＣは，
１８０°−(６０°＋８０°)＝４０°です。
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合同ですから，角ＦＣＢは６０°，角ＣＦＢは４０°です。
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左図のように，いろいろな角度がわかってきましたね。
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ここで，辺ＤＢと辺ＦＣとが交わった点をＧとします。
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すると，三角形ＧＢＣは，すべての角が６０°となり，正三角形です。
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また，角ＦＧＤも(角ＢＧＣと等しいので)６０°です。
角ＤＦＧも，１８０°−(８０°＋４０°)＝６０°です。
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よって，三角形ＦＧＤも，すべての角が６０°となり，正三角形です。
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正三角形は三辺の長さが同じですから，左図のように記号をつけて，同じ長さであることを示しておきます。
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さて，ここで，三角形ＥＢＣについて考えてみましょう。
この三角形は，すでに２つの角の大きさがわかっています。
ですから，
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角ＢＥＣの大きさは，
１８０°−(８０°＋５０°)＝５０°です。
５０°が２つあることに気づきましたか？
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よって，三角形ＥＢＣは二等辺三角形となり，辺ＢＥと辺ＢＣは同じ長さです。
辺ＢＣを●で表したのですから，辺ＢＥも●で表します。
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辺ＢＥと，辺ＢＧが，同じ長さになりましたね。
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ということは，ＥからＧまで直線を引いて三角形ＢＥＧを作ると，この三角形は二等辺三角形になります。
角ＥＢＧは２０°ですから，
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角ＥＧＢは，(１８０°−２０°)÷２＝８０°です。
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角ＦＧＥは，１８０°−(８０°＋６０°)＝４０°です。
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すると，角ＥＦＧも角ＥＧＦも４０°となり，三角形ＥＦＧは二等辺三角形になります。
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左図のように，同じ長さの辺に■の記号をつけました。
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いよいよ，最終段階に入ってきました。
○と○は同じ長さ，■と■も同じ長さ，辺ＤＥは共通ですから，青色の三角形と赤色の三角形とは，合同になります。
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合同ならば，対応する角も同じ大きさなので，左図の赤い点どうしも同じ大きさです。
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ところで，左図の赤い三角形は，正三角形でしたね。
ですから，赤い点２つで，６０°になっているはずです。
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左図のχの角度は，６０°÷２＝３０°となります。
答え ３０度
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