すぐるホームページ > きしも.com > 数学 > 「ゲーデルは何を証明したか」p27の証明

「ゲーデルは何を証明したか」 p27の証明

ずーっと気になっていた，以下の仮定から，p27の「Ｋはちょうど３つの元をふくむ」ことの納得いく証明を考えたので，以下に表します。

仮定

１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。
２．Ｋのひとつの元が，Ｌの３つ以上の元にふくまれることはない。
３．Ｋのすべての元が，Ｌのただひとつの元にふくまれることはない。
４．Ｌの任意の２つの元は，Ｋの元をちょうどひとつふくむ。
５．Ｌの中には，Ｋの元を３つ以上ふくむような元はない。

定理　Ｋはちょうど３つの元をふくむ。

証明

　Ｋには２つ以上の元があります。なぜなら，
「１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。」のですから，Ｋから任意に２つの元を取り出すことができるので，Ｋには２つ以上の元があることになります。

ところが，「Ｋに元が２つだけある」と仮定すると，以下の通り矛盾が起こります。

Ｋに元が２つだけある場合
「１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。」のですから，Ｋの元はすべて，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれていることになります。
しかし，
「３．Ｋのすべての元が，Ｌのただひとつの元にふくまれることはない。」のですから，矛盾します。
矛盾の原因は，Ｋに元が２つだけあるとしたからです。
よって，Ｋに元が２つだけあるわけではありません。


これで，Ｋには３つ以上の元があることがわかりました。

そこで，Ｋの元の中から任意に３つを取り出し，k1，k2，k3 とします。
「１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。」のですから，k1 も k2 もふくむ，Ｌのちょうどひとつの元が存在します。
その元を p とすると，k1 も k2 も p にふくまれていることになります。
このとき，k3 は p にふくまれません。なぜなら，もし k3 も p にふくまれたとすると，p は k1，k2，k3 の３つのＫの元をふくむことになり，
「５．Ｌの中には，Ｋの元を３つ以上ふくむような元はない。」ことに矛盾するからです。
ところで，「１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。」のですから，k1 も k3 もふくむ，Ｌのちょうどひとつの元が存在します。
その元は p ではないので，k1 も k3 もふくむＬの元を，q とします。

同じように，k2 も k3 もふくむＬの元を，r とします。

つまり，以下のようになっています。これは，仮定１〜５を満たしていることを各自確認してみましょう。

　k1 も k2 も p にふくまれている。
　k1 も k3 も q にふくまれている。
　k2 も k3 も r にふくまれている。

　さて，ここでＫに４つ目の元である k4 があったとします。すると，
「１．Ｋの任意の２つの元は，Ｌのちょうどひとつの元にふくまれている。」のですから，たとえば k1 と k4 の２つの元をふくむ，Ｌの元があるはずです。
ところが k1 も k4 も p にふくまれているとすれば，p は k1 も k2 も k4 もふくむことになり，
「５．Ｌの中には，Ｋの元を３つ以上ふくむような元はない。」に矛盾します。

よって，k1 も k4 も p にふくまれることはありません。
同じようにして，k1 も k4 も q にふくまれることもありえず，r にふくまれることもありません。

よって k1 も k4 もふくむＬの元は，p, q, r とは違う元ですから，それを s とします。

ここで，k1 に注目してみましょう。
k1 は p にふくまれ，q にもふくまれ，s にもふくまれています。ところが，
「５．Ｌの中には，Ｋの元を３つ以上ふくむような元はない。」のですから，矛盾しています。

矛盾の原因は，Ｋに４つ目の元であるとしたところにあります。

よってＫには４つ目の元はなく，Ｋはちょうど３つの元をふくむことが証明されました。