偏差値の求め方

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　よく生徒や保護者の方から，「偏差値ってなに？」という質問を受けます。
　偏差値はどのような計算をして求めるのかを、例をあげて説明しようと思います。
　ただし，小学生にもわかるように，マイナスになる計算をしないように工夫してあります。

　計算がしやすいように，１０人の生徒が１００点満点のテストを受けたことにします。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０

平均点：　　　　分散：　　　　標準偏差：

　偏差値を求めるためには，平均点・分散・標準偏差を求める必要があります。

　平均点については，求め方をよく知っていますね。
　分散・標準偏差というのは，聞き慣れないことばだと思いますが，求め方はそれほどむずかしくありません。

１．平均点を求める
　平均点は，得点をすべて足して，人数で割れば求められます。

　（５０＋９０＋６０＋６０＋４０＋１００＋４０＋４０＋５０＋７０）÷１０＝６０

　となるので，平均点は６０点です。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０

平均点：６０　　分散：　　　　標準偏差：

２．平均点との差を求める
　たとえばＡさんの場合は，得点が５０点ですから，平均点である６０点との差は，６０－５０＝１０点　です。
　Ｂさんの場合は，得点が９０点ですから，平均点である６０点との差は，９０－６０＝３０点　です。
　このように計算すると，次のような表ができ上がります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０

平均点：６０　　分散：　　　　標準偏差：

３．平均点との差の平方数を求める
　平方数というのは，たとえば７の平方数なら，７×７＝４９，１２の平方数なら，１２×１２＝１４４です。
　このように，同じ数×同じ数，の計算をしたのが，平方数です。

　たとえばＡさんの場合は，平均点との差は１０点ですから，その平方数は，１０×１０＝１００　です。
　Ｂさんの場合は，平均点との差は３０点ですから，その平方数は，３０×３０＝９００　です。
　このように計算すると，次のような表ができ上がります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０
の平方数	１００	９００	０	０	４００	１６００	４００	４００	１００	１００

平均点：６０　　分散：　　　　標準偏差：

４．分散を求める
　「分散」というと，何やらむずかしい計算が必要だというイメージを持つかも知れません。
　しかし実際は簡単。先ほど「平均点との差の平方数」を求めましたね。（クリーム色の部分）
　「分散」とは，このクリーム色の部分の，平均を求めるだけです。

　（１００＋９００＋０＋０＋４００＋１６００＋４００＋４００＋１００＋１００）÷１０＝４００

　「分散」は，４００になります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０
の平方数	１００	９００	０	０	４００	１６００	４００	４００	１００	１００

平均点：６０　　分散：４００　標準偏差：

５．標準偏差を求める
　またまた耳慣れないことばが出てきました。「ひょうじゅんへんさ」と読みます。
　標準偏差を計算できるようになるためには，「平方根（へいほうこん）」の考え方を理解する必要があります。
　平方根は，先ほど出てきた「平方数」の逆です。
　たとえば７の平方数は，７×７＝４９でした。
　よって，４９の平方根は，７になります。
　同じようにして，１４４の平方根は，１４４＝１２×１２ですから，１２になります。
　電卓で，１４４と押して，√（ルート）を押すと，１２になります。これが，平方根です。
　では，標準偏差について説明しましょう。
　標準偏差は，分散の平方根です。
　先ほど，分散は４００であることがわかりました。
　４００＝２０×２０ですから，標準偏差は２０になります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０
の平方数	１００	９００	０	０	４００	１６００	４００	４００	１００	１００

平均点：６０　　分散：４００　標準偏差：２０

　標準偏差は，得点の散らばり具合を表す数値です。
　もしみんなが全く同じ得点だったら，たとえば１０人がすべて５０点だったら，平均点はもちろん５０点で，標準偏差は０です。
　ところが１０人のうち５人が０点，５人が１００点だったら，平均点はやはり５０点ですが，標準偏差は５０になってしまいます。

６．平均点との差に１０をかけ標準偏差で割る
　たとえばＡは平均点との差は１０でした。これに１０をかけ，標準偏差である２０でわると，１０×１０÷２０＝５　となります。
　Ｂは平均点との差は３０でした。これに１０をかけ，標準偏差である２０でわると，３０×１０÷２０＝１５　となります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０
に１０をかけ，標準偏差で割る	５	１５	０	０	１０	２０	１０	１０	５	５

平均点：６０　　分散：４００　標準偏差：２０

７．偏差値を求める
　いよいよ偏差値を求めるときがきました！
　偏差値を求める準備は，もう十分できています。
　先ほど，「平均点との差に１０をかけ，標準偏差で割る」ことをしましたね。

　※得点が平均点より高ければ，５０にこの数を足す。
　※得点が平均点と同じであれば，偏差値は５０である。
　※得点が平均点よりも低ければ，５０からこの数をひく。

　たとえばAは得点が５０点で，平均点よりも低いです。
　よって，５０から５を引いて，５０－５＝４５　となります。
　Ｂは得点が９０点で，平均点よりも高いです。
　よって，５０に１５を加えて，５０＋１５＝６５　となります。

氏名	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	Ｅ	Ｆ	Ｇ	Ｈ	Ｉ	Ｊ
得点	５０	９０	６０	６０	４０	１００	４０	４０	５０	７０
平均点との差	１０	３０	０	０	２０	４０	２０	２０	１０	１０
に１０をかけ，標準偏差で割る	５	１５	０	０	１０	２０	１０	１０	５	５
偏差値	４５	６５	５０	５０	４０	７０	４０	４０	４５	５５

平均点：６０　　分散：４００　標準偏差：２０

　以上で偏差値の求め方はオシマイです。

追記１．偏差値はアテになるか
　偏差値とは，その集団の中でどれくらいの位置にいるかを表した数値です。
　偏差値の利用価値が高いのは，その集団の数値分布が正規分布に近い状態のときです。
　正規分布の場合だと，偏差値６０以上の生徒は全体の１６％ぐらい。偏差値４０以下も全体の１６％ぐらい。
　偏差値７０以上の生徒は全体の２％ぐらい。偏差値３０以下も，全体の２％ぐらい。
　偏差値８０以上の生徒は全体の０．１３％（７００人中１人）ぐらい。偏差値２０以下も，全体の０．１３％ぐらい。
　入学試験や模擬試験は，正規分布とはかけ離れた分布になっていることが多いので，偏差値を何ら疑わず信じてはいけません。
　集団の中での位置が，ある程度わかるものとして利用すべきものですから，偏差値が１上がった・１下がったからといって，一喜一憂するのは無意味です。

追記２．偏差値は最高いくらまであるの？
　理論上は，どんな偏差値もとることはできます。
　たとえば自分が１００点で，自分以外の２５人がみな０点なら，自分の偏差値は１００になります。（このとき，自分以外の人の偏差値は４８です。）
　また，自分が１００点で，自分以外の９０２５人がみな０点なら，自分の偏差値は１０００になります！！
　一般的に，自分が１００点で，自分以外の n 人が０点なら，自分の偏差値は，「１０×sqrt(n) ＋５０」という式で表すことができます。ただし，sqrt(n)は n の平方根です。
　このとき，自分以外の人の偏差値は，「５０－１０／sqrt(n)」という式で表すことができます。

追記３．偏差値でだいたいの順位がわかる
　成績が正規分布であると仮定すると，理論的には偏差値がわかれば順位を計算することができます。
　下の表は，偏差値によって，上位何％の成績なのかがわかる対応表です。
　たとえば，偏差値６０ならば，上位１６％の成績であることがわかりますから，もし８０００人が受けたテストの場合ならば，
　順位が　８０００×０.１６＝１２８０（位），ということになります。
　表を見ると，偏差値６０から偏差値７０に上げることが大変むずかしいことがわかります。
　なんせ上位１００人中１６位の成績だったのを，１００人中２位の成績にしなければならないのですから…。

偏差値	上位何％か
80	0.1%
79	0.2%
78	0.3%
77	0.3%
76	0.5%
75	0.6%
74	0.8%
73	1.1%
72	1.4%
71	2%
70	2%
69	3%
68	4%
67	4%
66	5%
65	7%
64	8%
63	10%
62	12%
61	14%
60	16%
59	18%
58	21%
57	24%
56	27%
55	31%
54	34%
53	38%
52	42%
51	46%
50	50%
49	54%
48	58%
47	62%
46	66%
45	69%
44	73%
43	76%
42	79%
41	82%
40	84%
39	86%
38	88%
37	90%
36	92%
35	93%
34	95%
33	96%
32	96%
31	97%
30	98%
29	98%
28	98.6%
27	98.9%
26	99.2%
25	99.4%
24	99.5%
23	99.7%
22	99.7%
21	99.8%
20	99.9%