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 ピックの定理の証明

↓ピックの定理の解説が載っています

ピックの定理

面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 ピックの定理を,以下の順で証明していきます。

 1.長方形において,ピックの定理は成り立つ。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 長方形においてピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。

 (1) まわりの点の数÷2を表す図を作成する。

 (2) 内部の点の数を表す図を作成する。

 (3) 長方形において,ピックの定理は成り立つ。


 (1) まわりの点の数÷2を表す図を作成する。
 長方形のまわりの点の数は,たて+横+たて+横 になります。(※植木算において,まわりの木の本数を求めるときは,1を足したり,引いたりしなくてもよいことを思い出してください。)

 すると,まわりの点の数÷2 は,
 たて+横 になります。

 たてというのは,たて×1と同じことですから,右の図のように表すことができます。
 図の,斜線部分の長方形です。

 というのは,1×横と同じことですから,右の図のように表すことができます。
 図の,斜線部分の長方形です。

 まわりの点の数÷2 は,たて+横 のことですから,次のように表せることがわかりました。


 (2) 内部の点の数を表す図を作成する。
 たとえば,たて6cm,横8cmの長方形の内部には,右の図のように点があります。

 たてには5個,横には7個の点があります。

 たての点の数は,(たて−1) となります。

 (※植木算において,両端の木を数えないとは,1を引くことを思い出してください。)

 同じようにして,横の点の数は,(横−1) となります。

 よって,内部の点の数は,(たて−1)×(横−1) となります。

 図で表すと,次のようになります。


 (3) 長方形において,ピックの定理は成り立つ。
 (1)で,まわりの点の数÷2 は,次のように表せることがわかりました。

 (2)で,内部の点の数は,次のように表せることがわかりました。

 よって,まわりの点の数÷2+内部の点の数は,次のように表すことができます。


 重ねると,右の図のようになります。
 右下の部分が,重なっていることがわかりますね?
 重なっている部分は,1×1=1 ですから,1を引けば,長方形の面積になります。

 ですから,まわりの点の数÷2+内部の点の数−1 が,長方形の面積を表すことになります。
 これで,長方形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。

(証明終)

 2.直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 直角三角形においてピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。

 (1) 直角三角形の面積を表す式を作成する。

 (2) 直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。

 (3) 直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。


 (1) 直角三角形の面積を表す式を作成する。
 長方形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 ところで,長方形においては,まわりの点の数÷2 は,たて+横 のことでしたから, 長方形の面積は,次のように表すことができます。

 長方形の面積 = たて + 横 + 内部の点の数 − 1

 ここで,長方形を対角線によって2つに分け,
 それぞれの内部の点の数をとし,
 対角線上にある点の数(両端をふくまず)をとすると,
 長方形の内部の点の数は,対+内×2 となります。
 長方形における面積の式を,次のように変えてもよいことがわかりました。


 長方形の面積 = たて + 横 + 対 + 内 × 2 − 1

 長方形を,対角線によって2等分すると,直角三角形ができますから,
 右の図のような直角三角形では,
次の式が成り立つことがわかりました。


 直角三角形の面積 =( たて + 横 + 対 + 内 × 2 − 1)÷2

 今後の都合により,さらに次のように式を変更します。
 変更しても同じ意味であることを,よく見くらべて納得しましょう。

 直角三角形の面積 =( たて + 横 + 対 + 1 + 内 × 2 − 2)÷2


 (2) 直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。
 右の図の,
 赤い線の部分(両端の赤い点もふくむ)の点の数は,
 たて+横+1 で表すことができます。
 (植木算で,両端もふくめた木の数は,1を加えることを思い出してください。)


 この点の数と,対角線上の点の数を合計すると,直角三角形のまわりの点の数になりますから,(ちょっとたし算の順番を変更して,)

 直角三角形のまわりの点の数 = たて + 横 + 対 + 1


 (3) 直角三角形において,ピックの定理は成り立つ。
 (1)で,直角三角形の面積を表す式を作成しました。

 直角三角形の面積 =( たて + 横 + 対 + 1 + 内 × 2 − 2)÷2

 (2)で,直角三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。

 直角三角形のまわりの点の数 = たて + 横 + 対 + 1

 よく見くらべてみて下さい。

 どうですか?たて+横+対+1の部分が共通であることがわかりますね。

 よって,直角三角形の面積の式は,次のように変更することができます。

 直角三角形の面積 =( まわりの点の数 + 内 × 2 − 2)÷2

 この式をよく見ると,カッコの中の 内 × 2 − 2 の部分は,あとで÷2をするのですから,次のように変更しても,同じ意味になります。

 直角三角形の面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内 − 1

 この式は,ピックの定理そのものですね。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 これで,直角三角形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。

(証明終)

 3.底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 底辺が水平な三角形においてピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。

 (1) 底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成する。

 (2) 底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。

 (3) 底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。


 (1) 底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成する。
 底辺が水平な三角形というのは,右の図のような三角形のことです。

 底辺が水平な三角形は,直角三角形2つに分けることができます。

 直角三角形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 右の図のように,それぞれの直角三角形のちょう点に赤い印をつけ,
 辺上の点の数(両端をふくまない)を,それぞれア〜オとし,
 直角三角形の内部の点の数を,それぞれ1,内2とします。


 左側の直角三角形に,ピックの定理を適用します。

 左側の直角三角形の面積=(ア+イ+ウ+3)÷2+内1−1

 右側の直角三角形に,ピックの定理を適用します。

 右側の直角三角形の面積=(ウ+エ+オ+3)÷2+内2−1

 左側と右側の直角三角形の和が,全体の面積になりますから,

 底辺が水平な三角形の面積
=(ア+イ+ウ+3)÷2+内1−1+(ウ+エ+オ+3)÷2+内2−1
=(ア+イ+ウ+3+ウ+エ+オ+3)÷2+内1+内2−1−1
=(ア+イ+エ+オ+6+ウ×2)÷2+内1+内2−1−1

 今後の都合により,さらに次のように式を変更します。
 変更しても同じ意味であることを,よく見くらべて納得しましょう。

 底辺が水平な三角形の面積
=(ア+イ+エ+オ+4+ウ×2+2)÷2+内1+内2−1−1


 (2) 底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成する。
 右の図において,まわりにはア・イ・エ・オと,赤い点が4個ありますから,
 まわりの点の数=ア+イ+エ+オ+4



 (3) 底辺が水平な三角形において,ピックの定理は成り立つ。
 (1)で,底辺が水平な三角形の面積を表す式を作成しました。

 底辺が水平な三角形の面積
=(ア+イ+エ+オ+4+ウ×2+2)÷2+内1+内2−1−1

 (2)で,底辺が水平な三角形のまわりの点の数を表す式を作成しました。

 まわりの点の数=ア+イ+エ+オ+4

 よく見くらべると,ア+イ+エ+オ+4の部分が共通であることがわかります。

 よって,底辺が水平な三角形の面積の式は,次のように変更することができます。

 底辺が水平な三角形の面積=(まわりの点の数+ウ×2+2)÷2+内1+内2−1−1

 この式をよく見ると,カッコの中の ウ×2+2 の部分は,あとで÷2をするのですから,次のように変更しても,同じ意味になります。

 底辺が水平な三角形の面積=まわりの点の数÷2+ウ+1+内1+内2−1−1

 この式の,+1 の部分と −1 の部分は打ち消しあうので,

 底辺が水平な三角形の面積=まわりの点の数÷2+ウ+内1+内2−1

 さらに,ウ+内1+内2 の部分は,三角形の内部の点の数を表しています。


 底辺が水平な三角形の面積=まわりの点の数÷2+内部の点の数−1

 この式は,ピックの定理そのものです。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 これで,底辺が水平な三角形においては,ピックの定理が成り立つことがわかりました。

(証明終)

 4.どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 どんな三角形でもピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。

 (1) 三角形にぴったりはまる長方形を描く。

 (2) 取り除く三角形の面積の和を表す式を作成する。

 (3) ぴったりはまる長方形の面積を表す式を作成する。

 (4) 三角形の面積を表す式を作成する。

 (5) どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。


 (1) 三角形にぴったりはまる長方形を描く。
 長方形,直角三角形,底辺が水平な三角形においては,ピックの定理が成り立つことが,すでにわかっています。
 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 また,右の図のような三角形の場合にも,底辺が水平な三角形と同じように,ピックの定理が成り立つことは理解できると思います。
 この三角形を,(本当は名前がついていませんが)底辺垂直三角形,と名付けることにします。


 ではいよいよ,右の図のような(ごくふつうの)三角形について,考えてみましょう。
(三角形の形がちがっていても,考え方は同じです。)

 右の図のように,三角形にぴったりはまる長方形を描き,

 長方形から,いらない部分の三角形を取り除けば,三角形の面積を求めることができます。
 ここで,取り除く部分の三角形は,直角三角形か,底辺が水平な三角形か,底辺垂直三角形かのいずれかであることが理解できると思います。
 ということは,長方形も,取り除く部分も,どれもこれもピックの定理が成り立つとわかっている図形ですね。


 (2) 取り除く三角形の面積の和を表す式を作成する。
 右の図のように,ちょう点に赤い印をつけ,それぞれの辺上の点の数(両端をふくまない)を,それぞれア〜クとし,
 内部の点の数を,それぞれ1234とします。


 では,取り除かれる三角形の面積の和を表す式を,作成していきましょう。
 右の図のように,取り除かれる三角形を,P・Q・Rとします。
 Pの面積+Qの面積+Rの面積
=(Pのまわりの点の数÷2+Pの内部の点の数−1)
 +(Qのまわりの点の数÷2+Qの内部の点の数−1)
 +(Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1)
=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数+Rのまわりの点の数)÷2
 +(Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+Rの内部の点の数)−1−1−1
=(ア+ク+オ+3+ク+イ+カ+3+キ+ウ+エ+3)÷2+(内1+内2+内3)−3

=(ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ+9)÷2+(内1+内2+内3)−3

=(ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ)÷2+4.5+(内1+内2+内3)−3

=(ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ)÷2+(内1+内2+内3)+1.5


 (3) ぴったりはまる長方形の面積を表す式を作成する。
 次に,求めたい三角形にぴったりはまる長方形の面積に,ピックの定理を適用します。

 長方形の面積
=まわりの点の数÷2+内部の点の数−1
=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+(内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+1)−1

=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+1−1

=(ア+イ+ウ+エ+4)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク

=(ア+イ+ウ+エ)÷2+内1+内2+内3+内4+オ+カ+キ+ク+2

 今後の都合により,さらに次のように変形します。

 長方形の面積
=(ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク+オ+カ+キ+ク)÷2+内1+内2+内3+内4+2


 (4) 三角形の面積を表す式を作成する。
 (3)により,長方形の面積は,

 (ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ+ク+オ+カ+キ+ク)÷2+内1+内2+内3+内4+2

 と表すことができました。

 (2)により,取り除く三角形の面積の和は,

 (ア+ク+オ+ク+イ+カ+キ+ウ+エ)÷2+(内1+内2+内3)+1.5

 と表すことができました。

 三角形の面積を求めるには,長方形の面積から,PQRの面積の面積の和を引くことになります。

 ということは,

+オ+カ+キ+)÷2+123+内4+2

 から,

)÷2+(123)+1.5

 を取り除く,ということです。赤い部分が共通であることに注意してください。

 2−1.5=0.5 ですから,取り除いたあとは,

 (オ+カ+キ)÷2+内4+0.5

 となります。


 (5) どんな三角形でも,ピックの定理は成り立つ。
 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 (4)により,三角形の面積は,

 (オ+カ+キ)÷2+内4+0.5

 と表すことができました。

 ですから,どんな三角形でも,ピックの定理が成り立つことを証明するためには,

 まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1 が,
 ターゲットの式 … (オ+カ+キ)÷2+内4+0.5
 となる。

 ということを証明できればよいことになります。

 ところで,三角形のまわりの点の数は,オ+カ+キ+3 です。 

   また,内部の点の数は,4 です。

 ですから,まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1 は,

 (オ+カ+キ+3)÷2+内4−1 となります。

 この式で,カッコの中にはという数が入っていますが,
 3÷2=1.5 ですから,次のようにしても,同じ意味になります。

 (オ+カ+キ)÷2+1.5+内4−1 となります。

 1.5−1=0.5 ですから,次のようになります。

 (オ+カ+キ)÷2+内4+0.5 となります。

 この式はまさに,ピックの定理が成り立つために証明したかった,ターゲットの式そのものですね。

 よって,どんな三角形でも,ピックの定理が成り立つことが証明されたわけです。

(証明終)

 5.どんな図形でも,ピックの定理は成り立つ。

 ピックの定理  面積 = まわりの点の数 ÷ 2 + 内部の点の数 − 1

 どんな図形でもピックの定理が成り立つことを,以下の順で証明していきます。

 (1) どんな図形も,何個かの三角形に分けることができる。

 (2) ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。

 (3) どんな図形にも,ピックの定理は成り立つ。


 (1) どんな図形も,何個かの三角形に分けることができる。
 下の図のように,1つのちょう点から対角線を引いていけば,何個かの三角形に分けることができます。

 下の図のような,くぼんだ図形であっても,ちょっと工夫することによって,何個かの三角形に分けることができます。


 (2) ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。
 右の図のような図形Pがあったとして,この図形にはピックの定理が成り立つと,わかっているとしましょう。
 Pの面積=Pのまわりの点の数÷2+Pの内部の点の数−1


 図形Pに,右の図のような三角形Qをぴったりくっつけるとしましょう。

 どんな三角形でもピックの定理は成り立つのですから,Qにもピックの定理は成り立ちます。
 Qの面積=Qのまわりの点の数÷2+Qの内部の点の数−1


 すると,PとQの面積の和は,次の式になります。

 PとQの面積の和=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1

 PにQをくっつけた図形をRとして,

 Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1

 が,PとQの面積の和になったならば,Rにもピックの定理が成り立つことになります。

 整理すると,    Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1

 が, ターゲットの式 … (Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1

 と等しいことを,証明できればよいわけです。  ところで,Rのまわりの点の数は,PとQのまわりの点の数の合計とは,等しくありません。

 というのは,PとQをくっつけることによって,右の図の赤い辺どうしがくっつくことになり,
 赤い辺の両端の2つのちょう点と,図のアアの部分の点の数のぶんだけ,まわりの点の数が少なくなってしまいます。
 よって,

 Qのまわりの点の数=Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数−アア−2

 となります。

 また,Rの内部の点の数も,PとQの内部の点の数の合計とは,等しくありません。

 というのは,PとQをくっつけることによって,右の図のアの部分も,Rの図形の内部になってしまうからです。

 よって,

 Qの内部の点の数=Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+ア

 となります。

 よって,    Rのまわりの点の数÷2+Rの内部の点の数−1
=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数−アア−2)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+ア−1
=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2−ア−1+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数+ア−1
=(Pのまわりの点の数+Qのまわりの点の数)÷2+Pの内部の点の数+Qの内部の点の数−1−1

 たしかに,ターゲットの式そのものになりましたね。

 よって,

 ある図形に対してピックの定理が成り立つならば,その図形に三角形をくっつけた図形にも,ピックの定理は成り立つ。

 ということが,証明されたことになります。


 (3) どんな図形にも,ピックの定理は成り立つ。
 とうとう,ピックの定理を証明するときがきました。いままでたくさん準備してきましたね。

 たとえば,次のような図形があったとしましょう。
 この図形は,必ず何個かの三角形に分けることができます。
 どれか1つの三角形に注目しましょう。

 この図形は三角形ですから,ピックの定理は成り立ちます。
 さらに,いま注目している三角形の,すぐとなりの三角形をくっつけるとします。

 はじめの三角形にはピックの定理が成り立ち,すぐとなりの三角形にもピックの定理が成り立つのですから,

 (2)で証明した通り,くっつけたあとの図形にも,ピックの定理は成り立ちます。

 さらに,そのできあがった図形にも,すぐとなりの三角形をくっつけるとします。

 くっつける前の図形にはピックの定理が成り立ち,(2)で証明した通り,くっつけたあとの図形にも,ピックの定理は成り立ちます。

 このようにして,三角形をいくらくっつけていっても,必ずピックの定理は成り立つのです。

 すると,最終的にできあがった図形も,ピックの定理が成り立つことになるのです。

(証明終)

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