フィボナッチ数列と中学入試問題

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 フィボナッチ数列とは
 「フィボナッチ数列」とは,「前の2つの数を加えると次の数になる」という数列です。
 ただし,1番目と2番目の数は両方とも1です。
   1,1,
 1+1=2 ですから,3番目の数は2になります。
   1,1,2,
 1+2=3 ですから,4番目の数は3です。
   1,1,2,3,
 5番目の数は,2+3=5 です。
   1,1,2,3,5,
 このようにしてできる数列が,「フィボナッチ数列」です。
   1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
 10000番目までのフィボナッチ数列は,次のようになります。
   1番目から1000番目までのフィボナッチ数列
   1001番目から2000番目までのフィボナッチ数列
   2001番目から3000番目までのフィボナッチ数列
   3001番目から4000番目までのフィボナッチ数列
   4001番目から5000番目までのフィボナッチ数列
   5001番目から6000番目までのフィボナッチ数列
   6001番目から7000番目までのフィボナッチ数列
   7001番目から8000番目までのフィボナッチ数列
   8001番目から9000番目までのフィボナッチ数列
   9001番目から10000番目までのフィボナッチ数列

 フィボナッチ数列は自然界でよく出てくる
   花びらの枚数,木の枝分かれ,まつぼっくりのまつかさ,ひまわりのたねの配列などに,フィボナッチ数列の数があらわれます。
 そうそう,自然界ではないですが,「ダ・ビンチ・コード(上・中・下)」という本でも,暗号として出てきましたね。

 フィボナッチさんてどんな人?
フィボナッチ 12世紀にイタリアのピサ(ピサの斜塔で有名)で生まれた数学者です。本名はレオナルドといいます。フィボナッチというのは「ボナッチさんの息子」という意味の,あだ名だそうです。
 分数の分子と分母を分ける横線がありますね。あれは,フィボナッチさんが考え出したそうです。
 フィボナッチさんが1202年に書いた「算術の書」の中に出ている問題が,「フィボナッチ数列」の問題になっています。
 フィボナッチさんについてくわしくは,ウィキペディアのフィボナッチへ。

 フィボナッチ数列の性質
 「フィボナッチ数列」とは,「前の2つの数を加えると次の数になる」という数列でした。
   1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,…
 このフィボナッチ数列には,さまざまな性質があります。
 それを,これから見ていくことにしましょう。
(性質のところのリンクをクリックすると,高校生以上になるとわかる証明へ飛びます。)
 この数列の,1番目をF1,2番目をF2,3番目をF3,…とします。
 つまり,
 F1=1,F2=1,F3=2,F4=3,F5=5,…
 ということです。
 性質1   F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 − 1
 たとえば,n=7の場合,
 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + F7 = 1+1+2+3+5+8+13 = 33
 F9 − 1 = 34−1 = 33
 となり,確かに合っています。

 性質2   F1 × F1 + F2 × F2 + … + Fn × Fn = Fn × Fn+1
 たとえば,n=7の場合,
   F1×F1 + F2×F2 + F3×F3 + F4×F4 + F5×F5 + F6×F6 + F7×F7
 = 1×1+1×1+2×2+3×3+5×5+8×8+13×13
 = 1+1+4+9+25+64+169
 = 273
   F7 × F8
 = 13×21
 = 273
 となり,確かに合っています。

 他にも,以下のような様々な性質があります。いろいろな数をあてはめてみて,本当に正しいのか確かめてみましょう。

 性質3   F1 + F3 + F5 + … + F2n-1 = F2n

 性質4  F2 + F4 + F6 + … + F2n + 1 = F2n+1
 性質5   となり同士のフィボナッチ数列は互いに素である。
 ※↑「互いに素」とは,最大公約数が1になることです。
 性質6   Fn+m = Fm × Fn+1 + Fm-1 × Fn
 ※↑この性質を,「フィボナッチ数列の加法定理」といいます。
 性質7   nがmで割り切れるならば,FnはFmで割り切れる
 性質8   FmとFm+nの最大公約数 = FmとFnの最大公約数
 性質9   FmとFnの最大公約数 = Fmとnの最大公約数
 性質10   Fn が Fm で割り切れるならば,nはmで割り切れる。
 性質11   F3の倍数 = 偶数
 性質12   F4の倍数 = 3の倍数
 性質13   F5の倍数 = 5の倍数
 ※↓ここからは,累乗(るいじょう)の表し方が出てきます。
 たとえば,52は,5を2回かけるという意味で,5×5=25 になります。
 また,23ならば,2を3回かけるという意味で,2×2×2=8 になります。
 性質14   Fn2 − Fn-22 = F2n-2
 性質15   Fn2 + Fn+12 = F2n+1
 性質16   Fn+12 − Fn2 = Fn-1 × Fn+2
 性質17   n が奇数のとき,F1 × F2 + F2 × F3 + … + Fn × Fn+1 = Fn+12
 性質18   n が偶数のとき,F1 × F2 + F2 × F3 + … + Fn × Fn+1 = Fn+12 − 1
 性質19   Fn+13 + Fn3 − Fn-13 = F3n

 リュカ数列 −フィボナッチ数列のなかま(1)−
 フィボナッチ数列は,"1,1,…"から始まりましたが,
 リュカ数列は,"1,3,…"から始まります。
 「前の2つの数を加えると次の数になる」というきまりは,フィボナッチ数列と同じです。
   1,3,4,7,11,18,29,47,…
 100番目までのリュカ数列は,次のようになります。
   100番目までのリュカ数列 ←クリックしてください。

 トリボナッチ数列 −フィボナッチ数列のなかま(2)−
 フィボナッチ数列は,「前の2つの数を加えると次の数になる」というきまりでした。
 このきまりを,「前の3つの数を加えると次の数になる」というきまりに変更したのが,「トリボナッチ数列」です。
 ただし,はじめの3個の数を,"1,1,2"とします。
   1,1,2,4,7,13,24,44,81,…
 100番目までのトリボナッチ数列は,次のようになります。
   100番目までのトリボナッチ数列 ←クリックしてください。

 ペラン数列 −フィボナッチ数列のなかま(3)−
 ペラン数列は,"0,2,3"から始まります。
   0,2,3,
 フィボナッチ数列ならば,4番目の数は,2番目と3番目の数を加えて求めますが,
 ペラン数列の場合は,1番目と2番目の数を加えます。0+2=2です。
   0,2,3,2,
 5番目の数は,2番目と3番目の数を加えます。2+3=5です。
   0,2,3,2,5,
 6番目の数は,3+2=5です。
   0,2,3,2,5,5,
 7番目の数は,2+5=7です。
   0,2,3,2,5,5,7,
 このようにしてできる数列が,「ペラン数列」です。
   0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,…
 100番目までのペラン数列は,次のようになります。
   100番目までのペラン数列 ←クリックしてください。
 ところで,ペラン数列には,ものすごい性質があります。 ← クリックしてください。

 もっとフィボナッチ数列をキワめる
 ・フィボナッチ協会という,フィボナッチ数列を日夜研究している協会があります。
 ・その協会では,フィボナッチ・クォータリーという雑誌を出しています。
 日本では,次のような本が出されています。
 
フィボナッチ数の小宇宙フィボナッチ数の小宇宙
中村滋著
日本評論社
大変くわしい本。絶版?
自然にひそむ数学自然にひそむ数学
佐藤修一著
講談社
黄金比とフィボナッチ数黄金比とフィボナッチ数
ダンラップ著
日本評論社
フィボナッチのうさぎフィボナッチのうさぎ
キースボル著
青土社
整数とあそぼう整数とあそぼう
一松信著
日本評論社

 フィボナッチ数列の中学入試問題
 フィボナッチ数列は,中学入試でもよく出題されます。
 ちょっと見ただけでは,フィボナッチ数列だとは思えない問題もあります。
 フィボナッチ数列の中学入試問題編・問題1(2003東京学芸大付竹早中)から,しっかり練習していきましょう。

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